KÜMELER
KÜMELER
-
Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesine küme denir.
-
Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir.
-
Küme; A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir.
-
A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
-
x nesnesi A kümesinin elemanı ise x A biçiminde gösterilir.
-
Kümede bir eleman bir defa yazılır.
ÖRNEK : A = {a, b, {a, b}, c} kümesi için
-
a A
-
b A
-
a, b A
-
{a, b} A
-
s(A) = 4
-
a, b, c A
yazılanlardan hangileri doğrudur?
KÜMELERİN GÖSTERİMİ
-
LİSTE YÖNTEMİ
A = {2,4,6,8}
-
ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ
A = {x|x, 10 dan küçük pozitif çift sayı}
-
VENN ŞEMASI YÖNTEMİ
A
.2
.4
.6
.8
EŞİT KÜMELER
-
Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir.
-
A = {x: |x| ≤ 2 ve x Z} ve B = {x: x2 ≤ 4 ve xZ} kümeleri eşit kümelerdir.Yani A = B dir.
BOŞ KÜME
-
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
-
Ø veya { } şeklinde gösterilir.
-
Boş kümenin eleman sayısı 0 dır.
ALT KÜME
-
Bir A kümesinin her elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir ve A B şeklinde gösterilir.
-
Her küme kendisinin alt kümesidir.(A A)
-
Boş küme her kümenin alt kümesidir.(ø A)
-
(A B ve B A) A = B dir.
-
(A B ve B C) A C dir.
-
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.
-
n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı :
n n!
=
r (n – r)!.r!
ÖZALT KÜME
-
Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.
-
n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n – 1 dir.
EVRENSEL KÜME
-
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir.
-
Evrensel küme E sembolüyle gösterilir.
A B A E
B E
BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
-
Bir A kümesi, E evrensel kümesinin alt kümesi olsun.E de olup da, A da olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’ nın tümleyeni denir.
_
-
A’ veya A şeklinde gösterilir.
-
A’ = {x| xE ve xA} dır.
-
(A’)’ = A
-
E’ = Ø
-
Ø’ = E
-
s(A) + s(A’) = s(E)
-
A B B’ A’
KÜMELERDE KESİŞİM
-
A ile B kümelerinde ortak elemanlardan meydana gelen kümeye A kesişim B kümesi denir.
-
AB şeklinde gösterilir.
-
AB = {x| xA ve xB} dir.
KÜMELERDE BİRLEŞİM
-
A ile B kümelerinde bütün elemanlardan meydan gelen kümeye A birleşim B kümesi denir.
-
AB şeklinde gösterilir.
-
AB = {x| xA veya xB} dir.
KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
-
Kesişim ve birleşim işlemlerinin değişme özelliği vardır.
AB = BA
AB = BA
-
Kesişim ve birleşim işlemlerinin birleşme özelliği vardır.
(AB)C = A(BC) = ABC
(AB)C = A(BC) = ABC
-
Kesişim ve birleşim işlemlerinin birbirleri üzerlerine dağılma özelliği vardır.
A(BC) = (AB)(AC)
A(BC) = (AB)(AC)
-
De Morgan kuralları
(AB)’ = A’B’
(AB)’ = A’B’
-
AA = A AA’ = Ø AØ = Ø AE = A
-
AA = A AA’ = E AØ = A AE = E
KÜMELERDE FARK
-
A ve B aynı evrensel kümeye ait iki küme olmak üzere, A’ ya ait olup da B’ ye ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye A fark B kümesi denir.
-
A B veya A – B şeklinde gösterilir.
-
A – B = {x| xA ve xB} dir.
-
s(AB) = s(A – B) + s(B – A) + s(AB)
-
A B = (A – B)(B – A) ( : Simetrik Fark)
NOT : Küme problemlerinde aşağıdaki pratik şema yöntemini kullanabiliriz.
A E
İ
x y z t
-
Sınıfta E = x + y + z + t tane öğrenci vardır.
-
A : Almanca bilenlerin sayısı
-
İ : İngilizce bilenlerin sayısı
-
Sadece Almanca bilenlerin sayısı : x
-
Sadece İngilizce bilenlerin sayısı : z
-
Almanca bilenlerin sayısı : x + y
-
Almanca bilemeyenlerin sayısı : z + t
-
İngilizce bilenlerin sayısı : y + z
-
İngilizce bilmeyenlerin sayısı : x + t
-
Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı : y
-
Almanca veya İngilizce bilenlerin sayısı : x + y + z
-
Almanca ya da İngilizce bilenlerin sayısı : x + z
-
Almanca veya İngilizceden en az birini bilenlerin sayısı : x + y + z
-
Almanca veya İngilizceden en çok birini bilenlerin sayısı : x + z + t
-
Almanca bilip, İngilizce bilmeyenlerin sayısı : x
-
İngilizce bilip, Almanca bilemeyenlerin sayısı : z
-
Ne Almanca ne de İngilizce bilenlerin sayısı : t
-
Sadece bir dil bilenlerin sayısı : x + z
-
Sadece iki dil bilenlerin sayısı : y