KÜMELER

KÜMELER

• Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesine küme denir.

• Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir.

• Küme; A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir.

• A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

• x nesnesi A kümesinin elemanı ise x  A biçiminde gösterilir.

• Kümede bir eleman bir defa yazılır.

ÖRNEK : A = {a, b, {a, b}, c} kümesi için

• a  A

• b  A

• a, b  A

• {a, b}  A

• s(A) = 4

• a, b, c  A

yazılanlardan hangileri doğrudur?

KÜMELERİN GÖSTERİMİ

1. LİSTE YÖNTEMİ

A = {2,4,6,8}

2. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ

A = {x|x, 10 dan küçük pozitif çift sayı}

3. VENN ŞEMASI YÖNTEMİ

A

.2

.4

.6

.8

EŞİT KÜMELER

• Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir.

• A = {x: |x| ≤ 2 ve x Z} ve B = {x: x² ≤ 4 ve xZ} kümeleri eşit kümelerdir.Yani A = B dir.

BOŞ KÜME

• Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

• Ø veya { } şeklinde gösterilir.

• Boş kümenin eleman sayısı 0 dır.

ALT KÜME

• Bir A kümesinin her elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir ve A  B şeklinde gösterilir.

• Her küme kendisinin alt kümesidir.(A  A)

• Boş küme her kümenin alt kümesidir.(ø  A)

• (A  B ve B  A)  A = B dir.

• (A  B ve B  C)  A  C dir.

• n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ dir.

• n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı :

n n!

= 

r (n – r)!.r!

ÖZALT KÜME

• Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.

• n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2ⁿ – 1 dir.

EVRENSEL KÜME

• Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir.

• Evrensel küme E sembolüyle gösterilir.

A B A  E

B  E

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

• Bir A kümesi, E evrensel kümesinin alt kümesi olsun.E de olup da, A da olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’ nın tümleyeni denir.

_

• A’ veya A şeklinde gösterilir.

• A’ = {x| xE ve xA} dır.

• (A’)’ = A

• E’ = Ø

• Ø’ = E

• s(A) + s(A’) = s(E)

• A  B  B’  A’

KÜMELERDE KESİŞİM

• A ile B kümelerinde ortak elemanlardan meydana gelen kümeye A kesişim B kümesi denir.

• AB şeklinde gösterilir.

• AB = {x| xA ve xB} dir.

KÜMELERDE BİRLEŞİM

• A ile B kümelerinde bütün elemanlardan meydan gelen kümeye A birleşim B kümesi denir.

• AB şeklinde gösterilir.

• AB = {x| xA veya xB} dir.

KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

• Kesişim ve birleşim işlemlerinin değişme özelliği vardır.

AB = BA

AB = BA

• Kesişim ve birleşim işlemlerinin birleşme özelliği vardır.

(AB)C = A(BC) = ABC

(AB)C = A(BC) = ABC

• Kesişim ve birleşim işlemlerinin birbirleri üzerlerine dağılma özelliği vardır.

A(BC) = (AB)(AC)

A(BC) = (AB)(AC)

• De Morgan kuralları

(AB)’ = A’B’

(AB)’ = A’B’

• AA = A AA’ = Ø AØ = Ø AE = A

• AA = A AA’ = E AØ = A AE = E

KÜMELERDE FARK

• A ve B aynı evrensel kümeye ait iki küme olmak üzere, A’ ya ait olup da B’ ye ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye A fark B kümesi denir.

• A B veya A – B şeklinde gösterilir.

• A – B = {x| xA ve xB} dir.

• s(AB) = s(A – B) + s(B – A) + s(AB)

• A  B = (A – B)(B – A) ( : Simetrik Fark)

NOT : Küme problemlerinde aşağıdaki pratik şema yöntemini kullanabiliriz.

A E

İ

x y z t

• Sınıfta E = x + y + z + t tane öğrenci vardır.

• A : Almanca bilenlerin sayısı

• İ : İngilizce bilenlerin sayısı

• Sadece Almanca bilenlerin sayısı : x

• Sadece İngilizce bilenlerin sayısı : z

• Almanca bilenlerin sayısı : x + y

• Almanca bilemeyenlerin sayısı : z + t

• İngilizce bilenlerin sayısı : y + z

• İngilizce bilmeyenlerin sayısı : x + t

• Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı : y

• Almanca veya İngilizce bilenlerin sayısı : x + y + z

• Almanca ya da İngilizce bilenlerin sayısı : x + z

• Almanca veya İngilizceden en az birini bilenlerin sayısı : x + y + z

• Almanca veya İngilizceden en çok birini bilenlerin sayısı : x + z + t

• Almanca bilip, İngilizce bilmeyenlerin sayısı : x

• İngilizce bilip, Almanca bilemeyenlerin sayısı : z

• Ne Almanca ne de İngilizce bilenlerin sayısı : t

• Sadece bir dil bilenlerin sayısı : x + z

• Sadece iki dil bilenlerin sayısı : y